Imprimer

Mais au juste, est-ce juste?

La théorie mathématique de l’injustice ou comment partager les parts du gâteau équitablement et sans jalousie.

Pendant la Seconde Guerre mondiale, le mathématicien polonais juif Hugo Steinhaus (1887-1972) vivait caché pour éviter une déportation par l’envahisseur nazi. C’est face à ce sentiment d’impuissance qu’il fut amené à philosopher sur les origines profondes de l’injustice. Ce faisant, il posa les premières briques d’une théorie mathématique de l’injustice qui, depuis, a énormément enrichi notre compréhension de ce phénomène. Soixante-dix ans plus tard, mon doctorat apporte humblement une nouvelle pierre à cet édifice.

De l’inéquité

Avant d’en arriver à mon doctorat, revenons au travail fondateur de Steinhaus. En se concentrant sur les fondements de l’inéquité, le mathématicien se demanda comment un bien commun, qu’il imagea en choisissant la métaphore du gâteau, pouvait être divisé équitablement entre les membres d’une société.

Je vous vois venir! Vous allez me dire qu’il suffit de découper des parts égales! Steinhaus rendit la question difficile en associant le bien commun à une collection de biens variés. En termes de gâteau, certains morceaux auraient plus de chocolat, d’autres seraient parfumés à la vanille, d’autres garnis de fraises… Là où ça se corse, c’est que chacun de nous a des préférences très spécifiques. Certains demanderont une part sans gluten, d’autres voudront « juste », on le sait, la plus grosse part possible?

Du partage exact

La pertinence de la métaphore pâtissière réside dans sa capacité à caricaturer les grandes idéologies politiques. Ainsi, le communisme, à son extrême, consiste à donner des parts identiques à tout le monde, quelles que soient les préférences de chacun. C’est ce que l’on appelle le partage exact. Si un tel partage est indéniablement équitable, il est aussi clairement possible de faire mieux. En effet, si François veut du chocolat et Georges de la fraise, autant donner le chocolat à François et la fraise à Georges, n’est-ce pas?

À l’opposé, le capitalisme autorise le libre-échange des biens. Après tout, si François et Georges ont chacun reçu « moitié chocolat, moitié fraise », un simple échange permettra à François de posséder tout le chocolat, et à Georges de profiter des fraises. Mais la question se pose alors : le partage restera-t-il équitable?

De l’équité

Pour y voir plus clair, il faut être plus rigoureux avec le concept d’équité. Une version simpliste consiste à évaluer, pour chaque individu, le pourcentage que représentent ses biens par rapport à l’ensemble des biens communs de la société. Par exemple, si François ne veut que du chocolat et qu’on lui donne tout le chocolat, il aura 100 % de satisfaction. On pourrait alors imaginer que l’équité nécessite l’égalité des pourcentages de satisfaction… Mais, comme je l’ai montré dans ma thèse, cela serait terriblement faux.

Prenons l’exemple d’un gâteau au sucre surmonté d’une cerise, à diviser entre cinq personnes. Imaginons que quatre d’entre elles sont des garçons au régime ne désirant que la cerise, alors que la cinquième est une fille morte de faim. Il est naturel de diviser la cerise en quatre et de donner tout le gâteau à la fille. Les garçons ont alors 25 % de satisfaction, tandis que la fille a quasiment 100 %... Voilà qui montre que, dans des partages intuitivement justes, les individus n’ont pas nécessairement tous le même pourcentage de satisfaction!

Du partage juste

Alors, qu’est-ce qu’un partage juste? Beaucoup croient que les mathématiques se limitent aux calculs. Les plus « éduqués » pensent qu’il s’agit de prouver des théorèmes. Mais, pour Alexander Groethendieck (1928-2014), un géant des mathématiques modernes, le plus important, le plus beau et le plus difficile, c’est de trouver les bonnes définitions. Et dans notre cas, les définitions de l’équité sont parmi les plus belles mathématiques que j’ai découvertes, car, en utilisant le formalisme rigoureux de cette science, elles mettent le doigt sur l’essence même de l’équité. Voyons deux de ces définitions.

Un partage est dit proportionnel si chacun s’en sort mieux que dans un partage exact. Ce qui rend cette définition excellente, c’est que si jamais un partage est proportionnel, mais qu’un individu se plaint, il suffit de lui proposer la solution « communiste », qu’il s’empressera de refuser!

Il est intéressant de noter qu’en partant d’un partage exact et en permettant le libre-échange, on garantit la proportionnalité du partage final. En effet, donnez le même ensemble de bonbons de différentes sortes à Georges et à François : chacun sera amené à échanger les bonbons qu’il aime moins pour ceux qu’il préfère. Mais puisque tout échange ne peut se faire que si les deux parties… y gagnent au change, tout deux s’en sortiront finalement mieux que dans le partage exact initial.

Toutefois, si la société s’habitue à ne pas se comparer au cas communiste, le partage proportionnel perd de son intérêt. Après tout, de nos jours, un végétarien s’attend à recevoir un repas végétarien, et non le même repas que chacun des autres convives.

Quantifier l’injustice

Voilà qui nous amène au partage dit sans jalousie, où tout individu préfère sa part à chacune de celles des autres. Autrement dit, personne n’est jaloux du bien d’un autre. Malheureusement, le libre-échange ne garantit pas l’équité sans jalousie.

Pire encore, dans des situations pratiques comme l’affectation des tâches, il peut ne pas exister de partage sans jalousie. Il faut alors se contenter de partages aussi peu injustes que possible. C’est pourquoi, dans mon doctorat, j’ai plutôt cherché à quantifier l’injustice pour qu’on puisse ensuite la minimiser.

L’idée m’est venue à la suite de la remarque suivante : l’équité réside dans la comparaison des biens. En effet, l’idée du partage sans jalousie est de comparer sa part à celles des autres, et le partage proportionnel peut être réinterprété comme le fait que chacun préfère sa part à la moyenne de celles des autres .

En appliquant cette remarque, je propose de normaliser la satisfaction d’un individu pour sa part en la comparant aux pourcentages de satisfaction qu’il aurait eue s’il avait reçu les parts des autres. Par exemple, dans le cas de la cerise sur le gâteau au sucre, un garçon aurait 25 % de satisfaction s’il échangeait sa part avec celle d’un autre garçon, mais 0 % s’il prenait celle de la fille. La satisfaction normalisée compare les 25 % de satisfaction pour sa part aux 25 % et 0 % qu’il aurait s’il échangeait sa part.

Formellement, la distribution des pourcentages de satisfaction d’un individu pour les parts des autres définit une moyenne et un écart-type. La satisfaction normalisée est alors définie comme le nombre d’écart-types séparant son pourcentage de satisfaction de la moyenne .

Notez que la satisfaction des autres n’entre pas en compte dans la normalisation : celle-ci quantifie la jalousie d’un individu pour les parts des autres,  pas pour leur satisfaction. Maintenant, les satisfactions étant normalisées, on peut quantifier l’inéquité d’un partage en les comparant .

Pour moi, l’élégance de cette normalisation réside dans sa complétion naturelle de la théorie de l’utilité, introduite en 1944 par von Neumann et Oskar Morgenstern (1902-1977). Cette théorie est aujourd’hui un pilier de la théorie économique. Mais si elle décrit très bien les préférences individuelles, elle ne peut toutefois pas les relier les unes aux autres. L’ajout des idées de Steinhaus et des miennes fournit désormais, selon moi,  un cadre complet pour étudier non seulement les préférences individuelles, mais aussi et surtout leurs interactions, d’où émerge alors naturellement le concept d’équité.

Auteur(e)

Lê Nguyên Hoang
École Polytechnique de Montréal et Massachusetts Institute of Technology

Lê Nguyên Hoang a reçu son diplôme d’ingénieur de l’École Polytechnique ParisTech (2011), avant de recevoir son doctorat de l’École Polytechnique de Montréal (2014) en mathématiques appliquées. Aujourd’hui postdoctorant au Massachusetts Institute of Technology, il s’intéresse à la théorie des jeux à information incomplète, la conception des mécanismes d’interaction d’agents stratégiques, et à la décision en temps réels. Il est aussi un vulgarisateur des mathématiques et un scientifique engagé, notamment sur son site Science4All.org. En 2013, il a été finaliste du concours Votre Soutenance en 180 Secondes organisé par l’Acfas.